Nörttäilykysymys: onko 0,999... = 1 ?

Tiedän kyllä ettei 0:lla saa jakaa eikä ääretön ole luku jne. mutta yritin sanoa että ääretön on yhtä täydellisen paljon kuin 0 täydellisen vähän. Ja äärettömän pieni on 0.

 

Näyttikin olevan vain laajennetussa reaalilukujoukossa tuo.

 

Äärettömän kohdalla tuollainen ajattelutapa on hieman vaarallinen, koska on olemassa "erikokoisia" äärettömyyksiä. Tästä päädytään joukkojen kardinaliteettiin, eli mahtavuuteen. Nollia sen sijaan on vain yksi (mutta nolla on erisuuri kuin yksi jos mukana on vähintään kaksi alkiota.. )

EDIT: Englanninkielisessä wikipediassa tuo asia on selitetty huomattavasti paremmin.

 

Erotusta "ääretön miinus ääretön" ei yleensä määritellä edes laajennetussa reaalilukujoukossa. Syy on siinä mitä jo edellä sanoin, eli raja-arvoja pyörittelemällä tuosta "erotuksesta" voi helposti saada tulokseksi mitä tahansa.

 

Niin no Wikipediahan tuota vain ehdotti, joten luotin siihen. Oma matikan taito johon kuuluun yliopiston tietotekniikanopinnoissa olleet matikankurssit on vähän vajavainen.

 

Matemaattisissa asioissa kannattaa yleensä lukea mieluummin englanninkielistä wikipediaa, siellä ollaan noissa asioissa tarkempia. Siellä ei tuollaista vastalukuhommaa yritetäkään väittää.

Suomenkielisestä wikistä voi lähinnä käydä etsimässä suomennoksia asioille, ja sitten klikata itsensä valikosta vastaavalle englanninkieliselle sivulle...

 

On mahdollista määritellä ns. hyperreaalilukujen joukko, jossa ääretön on mukana. Tähän viitataan ilmeisesti myös wikipedian artikkelissa. 'Keksintö' on jopa suhteellisen tuore, muistaakseni 60-luvulta.

Mielestäni on muuten hassua, että matematiikan osaaminen ajatellaan nimenomaan välineenä, josta pitäisi olla hyötyä, eikä esimerkiksi yleissivistyksenä. Vastaavaa 'painolastia' ei ole humanististen aineiden kohdalla. No, saahan tästä olla mitä mieltä haluaa. Omasta mielestäni esimerkiksi lukiolaisen yleissivistykseen kuuluu osata derivoida. Derivaatan merkitys koko modernin yhteiskunnan muodostumisessa on kuitenkin ollut todella merkittävä.

 

Mikä teräslaatta? Annas esimerkki, jossa kaduntallaajan tarvitsee teräsvoilla näkkäriä levitellä, vai mikäs otus se nyt lieneekään, josta puhuit. Vaatturin terälaatta.

 

Kirjoitetaanko otsikko oikeasti:

a) nörttäily
b) nörtteily
c) joku muu, mikä?
d) Kanada

:king:

 

Lukitsen vastauksen b), nörtteily.

 

Hyperreaaliluvut ovatkin sitten jo hieman eri asia kuin mistä tässä ketjussa on puhuttu. Niiden kohdalla puhutaan epästandardista analyysistä, jossa moni muukin asia on hieman toisin kuin mihin tässä "normaalissa koulumatematiikassa" on totuttu. Epästandardi analyysi käsittääkseni perustuu nimenomaan siihen ajatukseen, että todella on olemassa ns. infinitesimaalisen pieniä lukuja, jonka perään moni tässäkin ketjussa intuitiivisesti haikailee...

Tuo on jo sen verran modernia matematiikkaa, että siitä tuskin löytyy wikipediasta (ainakaan suomenkielisestä) mainintaa. Englanninkielisestä wikistä pääsee asiassa alkuun, jos aihe oikeasti kiinnostaa...

Laajennettu reaalilukuavaruus (josta aiemmin tässä ketjussa puhuttiin) on käsittääkseni huomattavasti yksinkertaisempi laajennus kuin nuo hyperreaaliluvut (mutta jos paikalla on joku modernin matematiikan asiantuntija, niin voi toki korjata).

 

Ottamatta enempää kantaa tuohon itse aiheeseen sanon vain, että ei logikkakaan ole aukotonta. Logiikkakin voi erehtyä, tästä esimerkkinä paradoksit. Yksi suosikeistani on jo pienestä pitäen ollut hirtettävän paradoksi.

 

Aika pöhkö "paradoksi" minusta. Siinähän leikitään sillä milloin vangille selviää hirttopäivä. Jos päivä on perjantai niin vanki ei voi sitä mitenkään tietää varmasti edes keskiviikkona. Ketju on ajateltava ajassa eteenpäin eikä taaksepäin perjantaista maanantaihin. Siis:

Jos hirttopäivä on maanantai niin yllätyksenähän se tulee. Jos ei ole niin yllätyshän se tiistaikin on hirttopäivänä. Samoin keskiviikko ja torstai. Ainoastaan perjantai on varma hirttopäivä vangille torstaina aamun jälkeen.

 

Vanki tulee siihen tulokseen, ettei häntä voida hirttää.

Eikö tuo tarkoita, että mikä tahansa päivä, myös perjantai, tulee nyt yllätyksenä?

 

No tottahan sen tajuan, että eihän tuollainen ajattelutapa toimi. Se nyt oli vain pieni esimerkki, että joillakin logiikan säännöillä tehty päätelmä ei aina välttämättä ole tosi. Ja parempia paradokseja asian todistamaan varmasti löytyy. Mutta samaa mieltä olet varmaan myös siitä, että perjantai ei voi olla hirttopäivä (koska torstainahan sen jo tietäisi). Jäljelle jää neljä mahdollista hirttopäivää.

Tämän jälkeinen ajattelutapa sitten tekee tai ei tee asiasta paradoksia. Mutta jos ajattelee tilannetta niin, että koska perjantai ei voi olla hirttopäivä, niin tilanne olisi sama, kuin alussa (hirttopäivä ma-to).

 

Epälogiikasta tuossa on kyse. Ihmiset tekevät jatkuvasti virheitä loogisissa päätelmissään tajuamatta asiaa. Siksi tällainen päättely tuntuu loogiselta vaikka se ei sitä ole. Se nyt vaan on niin arkipäiväistä ihmisille. Tuomari ei mieti itse loppuun asti ja siksi perjantain kohdalla yllätyksellisyys ei ihan toimi. Asia olisi hoitunut jättämällä hirttämisen takaraja auki.

 

Tämä on mielestäni varsin nerokas ratkaisu tälle ongelmalle. :thumbsup:

 

Wikipediaan kurkkaamatta totean, että ainakin omilla matematiikan tunneilla opittiin ettei sellaista lukua olekaan ja/tai ainakin se turha esitystapa kuin 0,999.... ääreettömyyksiin, kun se on oikeasti 1. Edellä esitetty johto 1/3:n kautta asiaan näyttää hyvinkin tutulta.

 

Spoiler

Eikös se todennäköisyys pysy samana oli heittoja sitten 30 tai 3 miljoonaa - X^Y eli 0.5^5 eli klaava = 0.5 ja perättäisiä klaavoja = 5 - tai sitten todennäköisesti muistan aivan väärin.

 

Mutta eihän tässä ole mitään samaa alkuperäisen kysymyksen kanssa, joka sentään antaa ihmisille mahdollisuuden kaivella omia loogisia voimavarojaan. Tässä on kyse puhtaasti oikean kaavan käyttämisestä, jota maallikko tuskin tietää. Pentanacci johtaa oikealle tielle.