Nörttäilykysymys: onko 0,999... = 1 ?

0,33333... ei ole tarkka arvo murtoluvulle 1/3?

 

Väite on yksiselitteisesti epätosi l. ei ole.
Yhtäsuuri kuin on yhtäsuuri kuin mitä tässä tilanteessa ei olla.

Väittämä on muutettavissa todeksi vaihtamalla hintaluokassaan yhtäsuuri kuin -merkki on likimäärin yhtäsuuri kuin -merkiksi:

≈1​

 

Olen ilmeisesti hullu, koska jaksoin Paintilla väsätä tämän (tein sen itse asiassa epäluuloisille mese-ystävilleni, mutta samalla sen voi tännekin laittaa):

Spoiler

Toivottavasti ei tullut virheitä. :sleep:
Edit: Tuo yksinäinen a1 on vaan jäänyt tuohon keskelle vahingossa.
Edit2: Äh, hitto vie, tuossahan on iso virhe. Pitäisi lukea tuolla lopussa (9/10)/(1-(1/10)) eikä (9/10)/(1/10).
Edit3: Vaihdoin tilalle korjatun version.

 

On se. 0,3333... on tarkka arvo, kun taas esim. 0,33 on likiarvo.

Oletko lukenut asialle yhtään todistusta? Olen lukenut arviolta 10. Vastatodistuksia ei ole näkynyt, lukuunottamatta näitä "eihä se voi olla noin hei" -heittoja.

 

Samat luvut ovat kyseessä. :king:


Lisäys: Desimaalierottimena Suomessa käytetään PILKKUA.

 

0,999 = 1 mutta se ei ole 1,0

 

Heh, täältähän löytyy enemmän uskovaisia kuin www.erokairkosta.fi pollista

 

Jos väitteesi pitäisi paikkansa niin silloinhan 1 - 0,999... = epsilon > 0. Esititpä kuinka tahansa pienen epsilonin (esim. 0,00000000000000000000001) niin aina voidaan lyödä desimaalikehitelmään 0,999... ysejä lisää jolloin 1 - 0,999... < epsilon. Mutta koska epsilon voi olla kuinka pieni niin seurauksena on että 1 - 0,999... = 0 eli 0,999... = 1.

 

Itse kysymykseen en tiedä vastausta, mutta 0.999 ei ainakaan ole yhtäkuin 1
Sen sijaan 0.999...=1 saattaa paremminkin pitää paikkaansa

Mutta eikös 1.0=1?

 

Höpsistä. Kysymyksen asettelu on selkeä, vastaus voi olla vain ei tai kyllä ja oikea vastaus on absoluuttinen fakta.

 

Itsekin toissa päivänä ryhdyin ajattelemaan asiaa, ja näyttäähän tuo lauseke ensialkuun aivan väärältä, mikä tietysti hieman vääristää pollia, kun intuitiivisesti vastataan heti "no ei helvetissä!" . Mutta laskenta osoittaa asian oikeaksi.

 

Niiin no, voisihan tuosta ottaa selvää, hyväksyykö matemaatinen maailma oikeasti tuon oikeaksi yhtälöksi. En epäile, etteikö tuosta saataisi pätevä yhtälö m.o.t -tekniikalla (täällähän on jo siitä esimerkkejä näytetty), mutta eiköhän se tietyllä tapaa väärinkin nyt ole. Eikö tuossa yhtälössä nimittäin silloin väitetä, että itse asiassa ääretön ei ole ääretön, vaan se päätyy aina johonkin. Silloinhan matemaattinen termi "ääretön" menettäisi täysin merkityksensä.

 

Ei vaan yhtälö on vahva osoitus äärettömän äärettömyydestä. Äärellinen määrä yhdeksikköjä nollan jälkeen ei ykköstä tee. Tarvitaan ääretön määrä.

 

Mutta eikös tämä ns. ääretön määrä ysejä muuta jossain vaiheessa lukua 0.999...:stä ykköseksi. Eihän silloin näitä ysejä ole ääretön määrä -- ellei kyse sitten ole jostain lainalaisuudesta.

 

Ei. Kyse on, kuten aikaisemmin mainitsin, notaatiosta. 0,999... on 1:n desimaaliesitys, aivan kuten 1,000...:kin. Jos olet huolissasi äärettömän kohtalosta, niin sekin on pelastettu, sillä tuossahan on käytännössä kyse laskutoimituksesta 1 - 1/ääretön (eli yhtälöstä 0,999... = 1 ,000...- 1/ääretön = 1,000... = 1).

 

Juju on siinä että se "jossain vaiheessa" on siellä äärettömyydessä. Et voi ajatella asiaa konkreettisesti (äärellisesti). Käsite ääretön on abstraktio äärellisessä maailmassamme. Matematiikka kuitenkin saa otteen jopa äärettömyydestä joten siltä kannalta asiassa ei ole ongelmaa.

 

Mitä jos EtP (ja muutkin) harrastaisi sen verran itsekritiikkiä, että lukisi sen ekassa viestissä linkatun Wikipedia-artikkelin, edes päällisinpuolin, ennen kuin lähtee inittämään vastaan.

 

Siinä mielessä kyse tosiaan on lainalaisuudesta, että tuo asia seuraa aikalailla suoraan eräästä reaaliluvut määräävästä aksioomasta, eli ns. täydellisyysaksioomasta. Syy siihen, miksi tuo väite seuraa täydellisyysaksioomasta selviää paremmin, kun tutkitaan ko. aksiooman kanssa yhtäpitävää (mutta hieman helppotajuisempaa) ns. sisäkkäisten suljettujen välien periaatetta: mikäli otetaan ääretön leikkaus suljetuista sisäkkäisistä reaalilukuväleistä, joiden pituus lähenee nollaa, niin leikkaukseen jää tasan yksi piste.

Nyt esim. välit [0.9 , 1], [0.99 , 1], [0.999 , 1], ... (jne äärettömiin asti), ovat suljettuja ja sisäkkäisiä, ja ko. välien pituus lähenee nollaa. Näin ollen suljettujen sisäkkäisten välien periaate sanoo suoraan, että leikkaukseen jää tasan yksi piste. Piste 1 on selvästi mukana kaikilla näillä väleillä, joten se kuuluu siis leikkaukseen. Toisaalta myös luku 0.99999... on kaikilla näillä väleillä, joten myös se kuuluu leikkaukseen. Koska leikkauksessa oleva luku on yksikäsitteinen, niin näiden lukujen on oltava samat.

Yhteenvetona: jos puhutaan reaaliluvuista, niin silloin täytyy hyväksyä täydellisyysaksiooma josta tuo väite sitten suoraan seuraa. Jos täydellisyysaksioomaa ei hyväksy, niin silloin ei enää puhuta reaaliluvuista.

 

On se -vastaus oli kirinyt rinnalle ja nyt meni ohi, meikä ratkaisi.

 

Miksi muuttaisi? Ysejä vaan tulee lisää. Sama kun väittäisi että 1,11... muuttuu jossain vaiheessa 1,12:ksi kun ykkösiä lisätään tarpeeksi.