Nörttäilykysymys: onko 0,999... = 1 ?

Virhepäättely. Se "luku" _on jo lähestynyt_ arvoa 1, se ei lähesty enää.

Luvut ovat lukuja, eivät ne muutu tai lähesty mihinkään (paitsi itseensä).

 

Ai taas tämä on noussut pinnalle.

1-0,99..=x

Jos x ei ole 0 niin lauseke jää tuohon vai jääkö?

 

Virhepäättely: 0,999999..... ei lähesty eikä tule lähestymään 1:ä vaan on aina 0,999999......

Lausekkeessa lim(x->1) x =1, kun x=0,999999....., taas 0,999999..... lähestyy 1:ä, mutta tällöinkään 0,999999..... ei ole 1 vaan sen raja-arvo on 1. Tämä on muistaakseni jo mainittu ketjussa aiemminkin, mutta ei jaksa kahlata.

Edit: Jos lausekkeessa meni jokin muotoseikka pieleen, niin joku matemaatikko voi oikaista. Ei ihan tarkasti enää limekset mielessä, kun ei ole vuosiin tullut enää niitä käpisteltyä.

Edit 2: Tässäpä hyvä esimerkki vielä:

(1-0,1^n)= 0,9 (n=1); 0,99 (n=2) ja 0,99999..... (n=ääretön), eli koska 1:stä otetaan viimeisessäkin tapauksessa jotain pois, ei 0,99999.... voi olla 1, vaan ainoastaan raja-arvo lim(1-0,1^n)=1, kun n lähestyy ääretöntä. Niinpä 0,999999.... ei ole 1, vaan ainoastaan sen raja-arvo voi sopivilla ehdoilla olla 1.

 

Matemaatikko olen, sillä teen matematiikasta tällä hetkellä väitöskirjaa. Laitokseni peruskursseilla esiintyy yleensä tämä "0.9999...=1" väite harjoitustehtävän muodossa. Sen joka syksy todistaa parisensataa opiskelijaa.

Sinulla menee jonot sekaisin lukujen kanssa. 0.999... ei ole jono vaan se on luku.

 

Mutta raja-arvoa voidaan käyttää myös funktion käyttäytymisen määrittämisessä, ja 0,99999.... on (vakio)funktio.

Annapas tulla se malliratkaisu

 

En halua olla "ylin tuomari", mutta nolla pistettä saisit jos tuo olisi tenttivastauksesi.

Mallivastauksia on monia.

- Jos kyseessä olisi eri luvut, niin silloin niiden väliin pitäisi jäädä jokin luku joka on aidosti suurempi kuin 0.9999.... ja aidosti pienempi kuin 1. Onkos tällaista lukua?
- Sarjojen avulla: 0.999...= 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + ...
= 9 x summa (n=1 -> ääretön) (1/10)^n = (päättymäton geom. sarja, suhdeluku 1/10 )
= 9 x 0.1/(1-1/10) = 9 x 0.1/0.9 = 1
- paljon monia muitakin

Siinä on matemaattiset faktat. Mutta kuten matematiikassa yleensä, paras ilo on se oivaltamisen ilo. Siksi kehoitankin jokaista löytämään ja ymmärtämään edes yhden tavan.

 

Nyyh, eikö edes Edit 2:n esimerkistä saisi pisteitä :weep:

 

Jos kerta 0.999... tarkoittaa ääretöntä ja samalla väitätte, että se on 1. Niin tarkoittaako silloin 1 myös ääretöntä :hitme:

 

En löydä sanoja.

 

Lisättäköön vielä, että luvun löytämisen pitäisi olla äärettömän helppoa, sillä näitä lukujahan olisi ääretön määrä.

 

Joo, näinhän se on. Helpon käsite vaan saattaapi olla muuttuva.

By the way, jos haluaa katsoa äärettömyyteen, käy se seuraavasti: Aseta kaksi peiliä vastakkain (esimerkiksi vessan peili ja käsipeili). Katso käsipeilin yläreunan kohdalta isoon peiliin. Tällöin näet itsesi peilikuvan, peilikuvan peilikuvan jne. Pienellä kädenliikkeellä voit tarkentaa ja näet oman peilikuvasti todella monesti. Aivan tarkasti jos katsoo, niin keskellä näkyy tummaa. Se on pelottava ja jännittävä ääretön.

 

Ja vielä paremmin tämä kokeilu toimii, jos satut olemaan vampyyri.

 

Miten ihmeessä osasin arvata tuon . Ekaan postiini pitikin vitsailla että vain matemaatikot osaavat saivarrella/viistastella noin tyhjänpäiväisillä asioilla. Aivan selvää viisastelua tämä on sen takia että "luku" 0.999... (huom: luku siis käsittää nuo kolme pistettä). on jo itsessään 1, se on vain typerä matemaatikkojen merkintätapa. ERI ASIA on väittää että kun niitä desimaaliysejä on äärettömästi koska kyseessä on silloin lim lasku.

 

Luvussa 0.999... on ääretön määrä ysejä nollan jälkeen. Mä en tiedä miten tuo on eri asia kuin sanoa että 0.999... = 1.

 

Kritiikki tehtävää vastaan: eikös ole vähän outoa yrittää todistaa jotain negaation kautta, eli löytyykö joku luku joka sopii 0,99999....:n ja 1:n väliin. Jaa, eipä löytynyt, ei niitä sitten kai ole

Sitäpaitsi tuossakin tulee juurikin limesmäinen raja-arvo mukaan, eli todetaan (sovitusti), että päättymätön geometrinen sarja (kun n lähestyy ääretöntä) suhdeluvulla 1/10 merkitään (x/(1-x)), missä x=1/10. Eli tämäkään ei osoita minusta 0,9999...:n olevan 1 paitsi raja-arvon kautta.

 

Entäs näin:

x=0.999....

10*x = 9.999....

10*x-x = 9*x = 9.0

Joten x=1

 

Sinähän se imbesilli taidat olla kun et hahmota äärettömyyden käsitettä. Nerokkaimmatkin matemaatikot tietävät että 0,999... = 1. Ovatko he kaikki imbesillejä?

Täälläkin on esitetty monta todistusta sille että 0,999... todellakin on 1. Eiköhän siis olisi sinunkin korkea aika uskoa asia? Parhaassa tapauksessa jopa ymmärtää.

Luku 0,999... ei lähesty mitään vaan on sitä mitä on. Eihän luku 1 sekään lähesty ykköstä vaan on sitä, on aina ollut ja tulee aina olemaan.

Matematiikassa harrastetaan raja-arvotarkasteluja joissa esim. jokin muuttujasta n riippuva asia lähestyy raja-arvoa kun n lähestyy tiettyä arvoa, esim. ääretöntä. Luvussa 0,999... yhdeksikköjen lukumäärä ei lähesty ääretöntä vaan ON ääretön.

Raja-arvotarkasteluissa "lähestyminen" on usein oleellista koska esim. jokin funktio ei ole määritelty tietyillä muuttujien arvoilla ja lähestymissuunnalla voi olla merkitystä. Esim. yksinkertainen funktio

f(x)=1/x​

Ei ole määritelty kohdassa x=0. Jos lähestymme nollaa funktion vasemmalta puolelta (x<0), lähestyy f(x) arvoa miinus ääretön mutta jos lähestymme nollaa oikealta puolelta (x>0), f(x) lähestyykin arvoa ääretön! Tällaisessa tilanteessa on todellakin syytä puhua lähestymisestä mutta tätä ei saa sotkea päättymättömiin desimaalilukuihin kuten 0,999... tai vaikkapa pii.

 

Tyhjänpäiväisiltä matemaatikoiden touhu saattaa maallikosta tuntua mutta se ei ole tyhjänpäiväistä. On ensiarvoisen tärkeää että matematiikassa asiat on määritelty täysin ja että joka ikinen väite voidaan todistaa. Kun on olemassa todistettuja väitteitä (esim. väliarvolause), voidaan niitä yhdistelemällä ja hyödyntämällä keksiä paljon kehittyneempiä väitteitä. Ilman matematiikkaa ja matemaatikoita eläisimme pellossa lähes ilman mitään tekniikkaa särkemässä pähkinöitä kivillä. Että annetaan matemaatikoilla se arvostus minkä he ansaitsevat.

Kuriositeettina mainittakoon että todistus että luku 0 on pienempi kuin luku 1 ei ole aivan triviaali vaan sellainen kolmen sivun mittainen aivojumppa. k_jartti osannee sen ulkoa.

 

Lukisit vähän tarkemmin mitä kirjoittelen
Edelleen pojjaat täällä tekee itestään niiiiin viksuja ku osattaan vähän matikkaa. Unohdittepa kuitenkin "maallikoille" mainita OP:ssä että merkintä "0.999..." (kolme pistettä mukana) tarkoittaa että ysejä on loputtomasti ja tuo merkintätapa (joka edelleenkin on matemaatikkojen viisastelua) on vain erilainen esitys luvulle 1. Valtaosa porukasta siis käsitti tehtäväannon väärin.

On se upeeta kun probleemalle 0 < 1 käytetään kolme sivua ja X minuuttia elämästä, ehkä on laskun jälkeen syytä miettiä mikä meni pieleen

Käytännöllisyys on sitä oikeaa viisautta, teoreettinen saivartelu viisastelua. Mutta sitäpä teoreetikot eivät tietenkään myönnä. Muistan kun fuksina oli näitä tehtäviä enemmänkin. Kun niitä ratkaisuja proffa sitten taululle päti niin porukka lähinnä naureskeli selän takana.



P.S. Nyt kun käsi syyhyten olette jo fleimaamassa takaisin, miettikääs mikä on mun postauksen pointti? Oliko aiheellinen?

Ei ole mitään kauniimpaa kun matematiikka. Esim korformaalinen projektio topografiassa, 4:n pituusulottovuuden visualisoiminen (kannattaa katsoa dokumenttisarja: Mathematical imagery: Dimensions) on äärimmäisen kaunista. Mutta se on aivan erilaista matematiikkaa kuin esimerkin tasoinen "viisastelen taviksille" matikka.

 

Halusit ehkä alustaa vastausta kysymykseen "Kuinka imbesilli täytyy olla että väittää 0.999... olevan 1?"